TRANG THÔNG TIN LUẬN ÁN CỦA NCS. MAI THỊ NGỌC HÀ

          Tên đề tài luận án: Một số phương pháp lặp giải bài toán chấp nhận tách với nhiều tập đầu ra trong không gian Hilbert

          Ngành đào tạo: Toán ứng dụng

          Mã số: 9 46 01 12

         Họ và tên nghiên cứu sinh: Mai Thị Ngọc Hà

Tập thể hướng dẫn:

1. PGS.TS. Trương Minh Tuyên

2. PGS.TS. Nguyễn Thị Thu Thủy

         Đơn vị đào tạo: Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên. 

         Cơ sở đào tạo: Đại học Thái Nguyên.

NHỮNG KẾT QUẢ MỚI CỦA LUẬN ÁN

·       Phát biểu bài toán chấp nhận tách với nhiều tập đầu ra và đề xuất 5 thuật toán lặp giải bài toán này.  Đồng thời, chúng tôi đề xuất và chứng minh các định lý hội tụ yếu và hội tụ mạnh của các thuật toán đề xuất. Các thuật toán này được chúng tôi phát triển từ thuật toán CQ của Byrne cho bài toán chấp nhận tách trong không gian hữu hạn chiều dựa trên cách tiếp cận tối ưu.

·     Phát biểu bài toán điểm bất động chung tách với nhiều tập đầu ra và đề xuất 3 thuật toán xấp xỉ nghiệm của bài toán. Chúng tôi xây dựng và chứng minh các định lý hội tụ yếu và hội tụ mạnh của các thuật toán đó. Bằng việc sử dụng phương pháp CQ, kỹ thuật chiếu lai ghép và kỹ thuật chiếu thu hẹp kết hợp với phương pháp xấp xỉ mềm, chúng tôi thiết kế các thuật toán với cỡ bước tự thích nghi.

·       Các thuật toán này được áp dụng cho bài toán chấp nhận tách tổng quát, bài toán chấp nhận tách với nhiều tập đầu ra, bài toán điểm bất động chung tách với ánh xạ không giãn hay bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn. Các kết quả thử nghiệm số trong không gian Hilbert thực hữu hạn chiều và vô hạn chiều cho thấy hiệu quả của các phương pháp đề xuất

CÁC ỨNG DỤNG/ KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG TRONG THỰC TIỄN HAY NHỮNG VẤN ĐỀ CÒN BỎ NGỎ CẦN TIẾP TỤC NGHIÊN CỨU

·       Thứ nhất, luận án đã nghiên cứu các bài toán chấp nhận tách với nhiều tập đầu ra, bài toán điểm bất động chung tách với nhiều tập đầu ra trên không gian Hilbert nên việc nghiên cứu các bài toán chấp nhận tách và các bài toán liên quan trên không gian Banach vẫn đang là một vấn đề mang tính thời sự.

·       Thứ hai, các giả thiết của các bài toán mà chúng tôi nghiên cứu đều là các tập con lồi, đóng, khác rỗng và ánh xạ chuyển là ánh xạ tuyến tính. Do đó việc nghiên cứu bài toán với các ràng buộc tập không lồi hoặc ánh xạ chuyển không phải là ánh xạ tuyến tính vẫn đang là vấn đề bỏ ngỏ.

·       Thứ ba, chúng tôi chỉ đề xuất các thuật toán giải các bài toán trên và chứng minh sự hội tụ của chúng. Vấn đề tính ổn định và tốc độ hội tụ của các thuật toán vẫn là vấn đề cần được nghiên cứu trong thời gian tới.

INFORMATION OF DOCTORAL DISSERTATION

Research title: Some Iterative Methods for Solving the Split Feasibility Problems with Multiple Output Sets in Hilbert Spaces

Major: Applied Mathematics                         

Code: 9 46 01 12

PhD candidate: Mai Thi Ngoc Ha

Research supervisors:

1. Assoc. Prof. Dr. Truong Minh Tuyen 

2. Assoc. Prof. Dr. Nguyen Thi Thu Thuy

Training institution:  Thai Nguyen University of Sciences - Thai Nguyen University

THE NEW SCIENTIFIC FINDINGS

·       We have stated the split feasibility problem with multiple output sets (SFPMOS, for short) and have proposed five algorithms to solve this (SFPMOS). We have also proposed and proven the weak and the strong convergence theorems for these algorithms. We developed these algorithms from Byrne’s CQ algorithm for the split feasibility problem in finite-dimensional Hilbert spaces based on the optimal approach.

·       We have stated the split common fixed point problem with multiple output sets (SCFPPMOS, for short) and have proposed three algorithms to approximate the solution of the (SCFPPMOS). We have built and proven the weak and the strong convergence theorems for these algorithms, too. By using the CQ method, hybrid projection techniques, and shrinking projection techniques combined with the viscosity approximation method, we have designed algorithms with self-adaptive step sizes.

·       These algorithms are applied to the generalized split feasibility problem, the split feasibility problems with multiple output sets, the split common fixed point problem for nonexpansive mappings, or the fixed point problem for nonexpansive mappings. Numerical experimental results in finite-dimensional real Hilbert space as well as infinite-dimensional real Hilbert space have shown the effectiveness of the proposed methods.

APPLICATIONS, PRACTICAL APPLICABILITY AND OPEN SCIENTIFIC PROBLEMS

·       The thesis has studied the (SFPMOS) and the (SCFPPMOS) in real Hilbert spaces. Studying the split feasibility problem and the related problems in Banach spaces is still an open topic.

·       In this thesis, we employ the assumptions put on the problem data that the subsets are convex, closed, and non-empty, and the transfer mapping is linear. For further investigation, we are interested in exploring the (SFPMOS) when at least one constraint set is not convex or at least one transfer operator is nonlinear.

·       We have proposed these algorithms and proven their convergence. The stability and convergence speed of the algorithms are issues that attract attention in the future. 

* Toàn văn luận án và Tóm tắt luận án vui lòng xem file đính kèm